Економіка поновлюваних і невідновлюваних ресурсів

Ринки капіталу тісно пов'язані з вкладеннями в видобуток корисних копалин та інші природні ресурси. Природні ресурси і деякі продукти їх первинної переробки (деревина, велика рогата худоба, вино) мають тенденцію збільшуватися з віком в ціні, хоча і з зменшується швидкістю. Типовий графік вартості подібних факторів виробництва (V) представлений на рис. 19.7.

Природні ресурси поділяються на поновлювані і непоновлювані. Поновлювані природні ресурси мають внутрішньої можливістю відтворення, самостійно або за участю людини. Дерева можуть бути посаджені на місці вирубок лісу. Поголів'я худоби може бути збільшено за рахунок природного приросту. Виноградники можуть бути додатково культивовані в придатних для цього місцевостях.

Мал. 19.7. Зміна вартості природних ресурсів з плином часу

Невідновлювані ресурси не відновлюються. Людство має певний запас корисних копалин (нафта, вугілля, боксити), металів і деяких інших ресурсів, відтворити які не представляється можливим. Для таких факторів виробництва відома кінцева точка - запас ресурсу обов'язково закінчиться, хоча і необов'язково в самому найближчому майбутньому.

Невідновлювані ресурси ставлять перед економістами дуже важливу проблему. Який обсяг ресурсу слід добувати і продавати сьогодні, в даний період часу, а який - доцільніше відкласти на майбутнє (законсервувати)?

Припустимо, що граничні витрати видобутку невідновлюваної ресурсу дорівнюють нулю. Сьогоднішня ціна на ресурс становить Р_г Відкласти видобуток фактора виробництва на один рік має сенс тоді, коли теперішня вартість завтрашніх надходжень від продажу ресурсу ока-

р

жется вище поточної ціни: j¹¹³- > P_t.

Але до такого висновку можуть прийти всі учасники ринку. Однак чим менше видобувається ресурсу сьогодні, тим більше буде видобуто завтра (ресурс вичерпаємо). Це збільшує сьогоднішню ціну і знижує завтрашню. Якщо ринок ресурсу конкурентний, то в рівновазі: P_{t + 1} = (1 + i) P_t, майбутня вартість ресурсу залежить від альтернативних можливостей використання грошей: гроші можуть бути витрачені на видобуток корисних копалин або можуть бути поміщені в банк під відсоток i.

тут проявляється закон Хотеллінга: Ціна ресурсу зростає від періоду до періоду відповідно до ставки відсотка.

Історична довідка

Гарольд Готелінґ (1895-1973), американський економіст і статистик. В університеті Вашингтона отримав ступінь бакалавра з журналістики та магістра з математики. Закінчив аспірантуру Принстонського університету. Викладав в Стенфордському та Колумбійському університетах, де очолював кафедру економіки. У 1936-1937 рр. був президентом Економетричного суспільства США.

З 1946 року очолював департамент статистики в університеті Північної Кароліни. Основні праці присвячені математичної теорії амортизації, економіці вичерпних ресурсів, теорії загального добробуту і оподаткування, аналізу функції попиту. Г. Хотеллінга є автором моделі лінійного міста, використовуваної при дослідженні поведінки фірм на ринках з диференційованим продуктом.

Для монопольного ринку невідновлюваних ресурсів рівновагу виявиться там, де спостерігається рівність межчасовий граничної прибутковості (граничної виручки):

Так як P_t > MR_t, то q_tK > q, ", монополіст буде видобувати менше сьогодні і більше завтра в порівнянні з конкурентною галуззю. Ціна видобутого ресурсу буде спочатку вище в монопольної галузі (згідно оптимуму монополіста), а потім буде знижуватися.

Для відновлюваних ресурсів ставка відсотка також грає істотну роль.

Виробництво поновлюваних ресурсів, як правило, характеризується наявністю точки виробничого максимуму (рис. 19.8). Якщо Y (t) - виробнича функція використання ресурсу, то точка Е, показує максимальний фізичний обсяг ресурсу, який може бути отриманий при даних умовах. Це може бути найвища віддача від ділянки лісу, найкращу якість витриманого вина, найбільший улов риби в озері або з певної площі моря.

Мал. 19.8. Оптимальний термін використання поновлюваного ресурсу

Чи повинна фірма використовувати ресурс в момент часу t_v відповідний його максимальної фізичної продуктивності? Як правило, немає.

Для компанії має значення сукупна можлива міжчасового вартість ресурсу. Вона визначається як дисконтована сукупна прибутковість ресурсу:

де V, = Р_г ? Y (t) - поточна вартість ресурсу в момент часу t; i - ставка відсотка.

Залежно від показників i, 7 (t), Р, дисконтована прибутковість ресурсу може бути різною. При фіксованих параметрах ми отримуємо лінії однакової дисконтованої доходності як геометричне місце функції PV = PV (t). На рис. 19.8 представлені три лінії дисконтованої доходності (аналог кривої байдужості).

Фірма прагне максимізувати функцію дисконтованої доходності при обмеженні з боку виробничої функції 7 (f). Оптимальний термін використання ресурсу визначається точкою дотику виробничої функції ресурсу і лінії його дисконтованої доходності - це точка Е₂, яка в силу відповідної форми як виробничої функції, так і лінії дисконтованої доходності, знаходиться лівіше точки Е, - точки максимуму фізичної прибутковості ресурсу. Таким чином, оптимальний час використання ресурсу буде менше його фізичної «зрілості»: t₂ t_r

Так як природні ресурси змінюються безперервно (дерева ростуть кожен день, вино витримується кожен день), для аналізу оптимального часу можна скористатися методом безперервного нарахування складних відсотків.

Якщо відсоток у банку виплачується N раз на рік, то при ставці відсотків г через t років вкладник отримує суму: (l + i / JV) '^vt. Який межа цього виразу при N -> Оо? Даний межа знаходиться за формулою: е " = Lim (l + i / N)^№.

Дисконтована прибутковість ресурсу тепер складе

Знайдемо максимум цієї функції по відношенню до часу. Для цього обчислимо умова першого порядку

Звідки отримуємо

Оптимальний час використання ресурсу має задовольняти умові рівності ставки відсотка темпу приросту цього ресурсу.

Завдання, що ілюструє теорію

Чим більше термін витримки рому, тим більше його вартість. Відомо, що якщо прийняти вартість рому в перший період за 1, то в період t його вартість становитиме: V (t) = е '¹' "⁰¹'. Якщо ринкова ставка відсотка дорівнює 10%, в якому році слід продати ром для максимізації прибутку фірми? Як зміниться термін продажу рому, якщо ставка відсотка впаде до 5 або зросте до 15%?

Рішення

У цьому завданню необхідно знайти максимальну різницю між теперішньою вартістю і інвестиціями в початковий період.

Дисконтована вартість обчислюється за формулою: PVD = ---. Ця формула показує цінність майбутнього доходу сьогодні, так як дохід, що дорівнює: _еД- °, п, _{в пе}р_иоде f можна отримати, поклавши в банк сьогодні суму, рівну:

_еЛ-0 ,! г

--при ставці відсотка р У будь-якому періоді t загальний дохід від продажу

пляшки рому за всі періоди від 0 до t дорівнює значенню функції: V (r) = _e ^f ^^01f, оскільки пляшка рому продається один раз на даний час.

gji-0.ll

Тоді чиста теперішня вартість складе: NPV = --- - / (де / -

інвестиції в початковий період). В даному випадку оскільки вартість пляшки рому дорівнює 1 в початковий період, то інвестиції, необхідні в початковий період, рівні вартості пляшки рому в початковий період і складають 1.

gji-0.lt

Знаючи ставку відсотка г = 10%, знайдемо: NPV = ^ -1.

Для пошуку максимуму обчислимо умова першого порядку: dNPV / dt = 0.

Звідки отримуємо результат: t = 6,55; V (6,55) = 2,6; NPV (6,55) = 2,6 - 1 = 1,6. Таким чином, пляшку рому необхідно продати через 6,55 років, щоб макси-

gji-0.lt

мізіровать NPV і, отже, ефективність і прибуток. величина ---

є виручка фірми за період від 0 до t, виміряна в сьогоднішньої цінності, а I = 1 - загальні витрати фірми.

gJi-0.lt

Якщо ставка відсотка підвищується до г = 15%, то: NPV ----1 і, макси-

^ (1 + 0,15) '

мізіруя цю функцію, знайдемо, що t = 4,35; V (4,35) = 1,84 і NPV = 1,84 - 1 = 0,84.

gji-0.lt

Якщо ставка відсотка знизиться до г = 5%, то NPV = --- 1; підсумкові резуль-

^до (1 + 0.05) ' ^у

тати складуть t = 11,29; У (11,29) = 4,37; NPV = 4,37 - 1 = 3,37.

Прибуток фірми залежить обернено пропорційно від ставки відсотка. Вираз (1 + г) 'знаходиться в знаменнику, отже, чим вище г, тим нижче теперішня вартість. Це пояснюється наступним: чим вище ставка відсотка, тим дешевше гроші майбутнього періоду, виражені в грошах справжнього періоду, збільшення ставки відсотка означає збільшення альтернативних витрат інвестування.

1. Квазілінійну переваги
   Додаючи деяку частину другого (нелінійного) товару, залишаючи при цьому кількість першого (лінійного) товару незмінним, споживач переходить на більш високу криву байдужості, форма якої збігається з формою попередньої кривої. У попередньому параграфі було показано, що при вирішенні задачі оптимізації
2. Криві «дохід-споживання» і криві Енгеля
   Коли змінюється дохід споживача, то лінія бюджетного обмеження зсувається паралельно вгору або вниз від початкової. Якщо ми будемо постійно, скажімо, збільшувати дохід індивіда, то споживач буде вибирати нові і нові оптимальні точки, що відповідають новим лініям бюджетного обмеження. Поєднавши
3. Критерії оптимальності суспільного добробуту
   Парето-ефективних станів економіки нескінченно багато. Яке з них є найкращим? Позитивна економічна теорія не може дати однозначної відповіді на це питання, проблема відноситься до сфери суспільного вибору. З точки зору соціальної справедливості, не всі стани Парето-ефективного безлічі однаково
4. Контроль рівня роздрібної ціни
   Проаналізуємо вплив механізму вертикальних контрактів на поведінку торговця і суспільний добробут на прикладі контролю рівня роздрібної ціни. Нехай на ринку діють один виробник-монополіст і два конкуруючих між собою торговця. Ринковий попит представлений у вигляді: Р = 100 + л / л -Q (де Л
5. Класифікація видів фірм
   Для того щоб розібратися в світі фірм, необхідно розбити компанії на деякі групи відповідно до ряду критеріїв. 1. Види фірм за технічними характеристиками : ? однозаводскіе і многозаводскіх фірми; ? характеристика типової виробничої функції: функція Кобба - Дугласа: Q (K, L ) = До і ? 1 |!
6. Інші характеристики ризику
   Крім ймовірності результату для характеристики ризику та невизначеності можуть використовуватися показники очікуваної величини і розкиду очікуваної величини. Математичне очікування знаходиться за формулою і характеризує середньозважене значення результатів. Як терезів беруться ймовірності
7. Індекс Лернера для багатопродуктового монополіста
   Розглянемо функцію прибутку фірми-монополіста, що випускає кілька різних видів товарів. В даному випадку, оскільки мова йде про вибір оптимальної ціни одиниці кожного товару, доцільніше висловлювати поведінку фірми як залежність обсягу випуску від ціни: де Р. - ціна одиниці продукції г-го
8. Функція витрат споживача
   Функція Хіксіанского попиту показує оптимальні обсяги товарів, які набуває індивід при різних цінах і різних цільових рівнях корисності. Якщо тепер в первісної лінії витрат споживача ми замінимо довільні обсяги покупок оптимальними, то отримаємо функцію витрат, яка характеризує динаміку мінімальних