Модель пересічних поколінь Самуельсона - Даймонда

Нехай населення складається з молодих і літніх, воно росте темпом п. Індивід максимізує корисність, а суспільство - дохід. Сумарна зарплата працівників:

де w - ціна простого праці; L - фізичні затрати праці; Е - ефективність праці, вона зростає темпом g. Пенсії немає. капітал (К) не накопичується, його поточний обсяг дорівнює частці зарплати в попередньому періоді:

де s₍ - норма заощадження в t-м періоді.

Знайдемо умови загальної рівноваги споживачів і бізнесу при різних функціях корисності.

1. Степенева функція корисності споживачів:

де С [- споживання молодих в періоді t; З₂ - споживання літніх в наступному періоді t + 1; р - норма міжчасового переваги: якщо вона дорівнює нулю, то нинішня і майбутня корисність рівноцінні, якщо р менше нуля, то поточна корисність менш цінна, якщо р більше нуля, то поточна корисність цінніше.

Властивості функції корисності:

• зростає убутним темпом з ростом обсягів споживання;
• дорівнює нулю при З_х = С₂ = 1 - прожитковий мінімум;
• гранична норма заміщення дорівнює MRS = (1 + р) (С₂ / C_t)^e.

Споживання літніх - его заощадження молодих плюс відсотки:

де г_{1 + х} - ставка відсотка в літньому віці.

рівновага споживачів досягається, коли корисність максимальна при обмеженні (2.65). при рівновазі MRS дорівнює тангенсу кута нахилу цього відрізка:

Підставами отриману формулу в бюджетне обмеження (2.65), отримаємо оптимальну норму заощадження:

Звідси оптимальна норма заощадження зростає при зниженні норми міжчасового переваги і при зростанні ставки відсотка.

рівновага бізнесу досягається, коли прибуток максимальна. Дохід (У) є функція Кобба - Дугласа, висловимо його через корисний об'єм (LE) іфондоозброєність (К) корисної праці:

Прибутокмаксимальна, якщо граничні продукти ресурсів рівні їх цінами. Тому для праці виконується:

Для капіталу виконується:

Загальна рівновага - споживачі і бізнес знаходяться в рівновазі. Висловимо поточний обсяг капіталу через поточний обсяг корисної праці з урахуванням заданих темпів зростання населення і ефективності праці, отримаємо наближену формулу фондоозброєності при невеликих темпах зростання показників:

Підставами в формулу (2.69) ставку зарплати (2.67) і ставку відсотка (2.68) з урахуванням формули оптимальної норми заощадження (2.66):

Формула динаміки фондоозброєності - рекуррентная: поточне її значення можна визначити, лише знаючи попереднє значення.

2. Логарифмічна функція корисності споживачів:

де С, - споживання молодих в періоді t, С₂ - споживання літніх в періоді t + Up - норма міжчасового переваги.

Корисність зростає убутним темпом з ростом обсягів споживання і дорівнює нулю при З₁ = С₂ - 1, гранична норма заміщення: MRS =

= (1 +Р) {Із₂/ С_Х).

При рівновазі споживачів MRS дорівнює тангенсу кута нахилу бюджетної лінії (2.65):

Підставами формулу в бюджетне обмеження (2.65), отримаємо оптимальну норму заощадження:

Вона незмінна в часі, зростає при зниженні р і не залежить від ставки відсотка. При рівновазі бізнесу при доході Y- LEk^a(K - К / LE) Виконуються рівності (2.67) і (2.68). Для визначення умов загальної рівноваги підставимо (2.71) в (2.69):

стаціонарний стан - фондоозброєність постійна. Знайдемо її стаціонарне значення, підставивши в формулу k_t = k_{t + l}:

Стаціонарна фондоозброєність корисної праці зростає при зниженні темпів зростання населення (П) ефективності праці (G) і норми міжчасового переваги (/?). Стаціонарна ставка відсотка дорівнює

1. Національна економіка як наука, предмет національної економіки
   Будь-яка наука починається з визначення її предмета і методу. Національна економіка становить самостійний розділ загальної економічної теорії (теоретичної економіки), в рамках якої історично вона і розвивалася. Традиційно під економічною теорією (economics,) розуміється галузь знань, яка має
2. Національна економічна безпека
   Окремою важливою проблемою глобального світу є питання національної економічної безпеки. Це питання здатності національної держави ефективно контролювати свої реальні і віртуальні кордону і визначати способи стабільної спільного життя великих і різнорідних мас людей. У глобальному світі проблеми
3. Мультиплікатор
   При виявленні умов рівноваги на ринку благ (див. Підпункті 3.1.1) ми звернули увагу на характерну особливість макроекономічної концепції Кейнса - виникнення мультиплікативний ефект при зміні автономного попиту. На тому етапі аналізу величина мультиплікатора була визначена при двох спрощують
4. Моніторинг і прогнозування, що здійснюються з високою частотністю
   Побудова моделей послідовних періодів прогнозування для забезпечення введення початкових умов для динамічних систем, розрахованих на більш тривалий час, є надійною дослідницької стратегією. В інформаційний вік цю процедуру застосовують при розробці складаються з високою частотністю систем
5. Монетарна модель з жорсткими цінами (модель Дорнбуша)
   У цій моделі передбачається, що в короткостроковому періоді ціни жорсткі (фіксовані, як в моделях кейнсіанського типу), але в довгостроковому періоді ціни знову стають гнучкими (і справедливі висновки кількісної теорії грошей). У короткостроковому періоді до зміни цін може привести тільки
6. Модифікована крива Філліпса
   Поява модифікованої кривої Філіпса прийнято пов'язувати з роботою Самуельсона і Солоу, опублікованій в 1960 р Вони представили схематичний аналіз взаємозв'язку між зміною погодинної номінальної заробітної плати і безробіттям для американської економіки і запропонували звернути увагу на те
7. Модель з податками. Крива Лаффера
   Держава і зовнішній світ не враховуються, інвестиції автономні, а податкові надходження (7) лінійно залежать від доходу: де Т а - автономні податки; t - податкова ставка. Споживання лінійно залежить від наявного доходу (Y- Т): де автономні витрати рівні Е а = З а + I a - МРС - Т а . Прирівняємо
8. Моделювання інвестицій., реальна ставка відсотка як рентна ціна капіталу
   Розглянемо деякі інші міркування, що пояснюють характер інвестиційної функції. Зауважимо, що якщо репрезентативний виробник вибирає кількість капіталу при заданому кількості робочої сили, його попит на кількість капіталу являє собою функцію, зворотну до граничного продукту капіталу. З цього