Динаміка АК-моделі

Подивимося, як в АК-моделі формується довгостроковий темп зростання. Припустимо спочатку, що, як і в моделі Солоу, нам екзогенно задана деяка норма заощадження s (0

де До_г - сумарний капітал в економіці, Y_t = aK_t - валовий випуск, а З₍ - валове споживання (що збігається з питомою споживанням) в періоді t. У цьому випадку, очевидно, K_tM / K_t = У_{г + 1} / Y_t = C_{t + {} / C_t = Sa. Так що темп зростання g моделюється економіки визначається рівністю

Звернемо увагу ще й на таку обставину: в цьому формулюванні у АК-моделі відсутня перехідна динаміка. Незалежно від початкового стану, капітал, випуск і загальне (воно ж питомий) споживання з самого початку ростуть постійним темпом g, який, в силу (20.14), одночасно є темпом зростання технічного прогресу. При цьому величина g формується ендогенно - вона залежить від явного виду виробничої функції і від норми заощадження 5, т. е. від поведінки економічних агентів.

Припустимо тепер, що, як і в моделі Рамсея, є цільова функція суспільства, яка являє собою міжчасового дісконта-

оо

рованную корисність:] Г (У 1ПС_г Тут (3 (Про Р < 1) - громадський коеффі-

t= про

циент дисконтування, а миттєва суспільна корисність задається логарифмічною функцією (ми розглядаємо саме таку функцію корисності, щоб мати можливість визначити траєкторії збалансованого зростання, см. обговорення моделі Рамсея з технічним прогресом), і (с) = 1нс. Тоді центральний планувальник повинен вирішити наступне завдання:

За аналогією з моделлю Рамсея назвемо послідовність(K *> c_t)_t_₀j, що є вирішенням завдання (20.16), оптимальної траєкторією в АК-моделі (що виходить із початкового стану до₀ > 0).

Використовуючи умови першого порядку, умова трансверсальності можна переписати таким чином:

Для завдання (20.16) можна виписати необхідні та достатні умови вирішення - бюджетні обмеження, умови першого порядку і умова трансверсальності:

Послідовно підставляючи умови першого порядку в бюджетні обмеження, ми отримаємо:

З умови трансверсальності негайно випливає, що

або З = а / г₀(1- (3). А тоді з виписаних вище бюджетних обмежень ми відразу ж отримуємо, що k *_{t + {} = (3ak *.

Таким чином, на оптимальній траєкторії в ЛК-моделі капиталовооруженность і споживання (як валові, так і питомі) незалежно від початкового стану відразу ростуть постійним темпом 1+? = (Зя. Це означає, що будь-яка оптимальна траєкторія з самого початку є траєкторією збалансованого зростання (зауважимо, що за визначенням АК-моделі, темп зростання випуску збігається з темпом зростання капіталоозброєності. Тому величина 1 + g є оптимальний темп зростання економіки). Слід звернути увагу на те, що оптимальний темп зростання залежить від коефіцієнта дисконтування р, що відображає ступінь «терплячості» суспільства. Причому ця залежність позитивна - чим терплячі суспільство, тим менше воно згідно спожити сьогодні і тим б льше воно інвестує в майбутнє, сприяючи підтримці більш високого темпу довгострокового економічного зростання.

Розглянемо тепер рівноважну траєкторію в АК-моделі. При заданому початковому рівні заощаджень, s__{ = k₀, репрезентативний споживач вирішує завдання про максимізації своєї функції корисності (що має той же вигляд, що і суспільна функція корисності) при бюджетних обмеженнях і за умови No-Ponzi Game:

де 1 + r = fk) - ставка відсотка, a w_t = A_tw = k_t == k_t(A-f '(k)) - ставка заробітної плати. ^

послідовність _l називається рівноважної траекто

рией в АК-моделі (що виходить із початкового стану k₀ > 0), якщо вона задовольняє таким умовам:

- послідовність (sj__1? c_t)_{t = 0 х} є рішенням задачі (20.17)

при.? _! = &Q, і w_t = k *_t =, t = 0,1, ..

k

- k * = s * __vt = 0,1, ...

Іншими словами, рівноважна траєкторія характеризується вимогою рівності запасу капіталу в економіці сумарним заощаджень в кожен момент часу (нагадаємо, що ми прирівняли загальна кількість населення до одиниці). При цьому репрезентативний споживач вирішує завдання максимізації корисності (20.17), сприймаючи свою заробітну плату як задану і не беручи до уваги те, що «насправді» в рівновазі вона визначається динамікою накопичення капіталу (таким чином, в АК-моделі через наявність екстерналії віддача на капітал з точки зору кожного окремого агента (англ. private rate of return) виявляється менше, ніж віддача на капітал з точки зору суспільства). В даному визначенні умови максимізації прибутку в явному вигляді не згадуються. Однак ці умови вже постульовано вище при описі технологічних співвідношень. Неважко бачити, що на рівноважної траєкторії для кожного моменту часу t = 0,1, ... також виконується матеріальний баланс: з] +&*₊i = Ak *.

Необхідні і достатні умови для вирішення такого завдання мають вигляд

Умови першого порядку відразу говорять про те, що питоме споживання на рівноважної траєкторії зростає постійним темпом. Розумно припустити, що так само йде справа і з заощадженнями (а тоді і з КАПИТАЛОВООРУЖЕННОСТЬ, які в рівновазі збігаються із заощадженнями минулого періоду). І дійсно, з виразів для рівноважних ставки відсотка і ставки заробітної плати ми маємо

Таким чином, для будь-якого моменту часу величина дорівнює одній і тій же постійною. Очевидно, тоді ^

де в першому рівність враховано співвідношення k * = s * __v

Далі, в рівновазі бюджетні обмеження кожного періоду можна переписати таким чином:

Підставляючи в ці бюджетні обмеження формулу s *_t = (A- (l + r)) s *_t__v остаточно отримуємо, що

Отже, рівноважна траєкторія характеризується наступним чином:

Отже, на рівноважної траєкторії в А / С-моделі капиталовооруженность (і як наслідок випуск), споживання та заощадження агентів (як валові, так і питомі) незалежно від початкового стану відразу ростуть постійним темпом 1 + g * = (3 (1 + F). Як і у випадку оптимальної траєкторії, будь-яка рівноважна траєкторія з самого початку є траєкторією збалансованого зростання, причому рівноважний темп позитивно залежить від коефіцієнта дисконтування р. Але можна помітити, що рівноважний темп зростання менше, ніж оптимальний. Дійсно, оптимал ний темп зростання в АК-моделі задавався формулою 1 + g = (Зя. Оскільки

а - (1 + г) + - звідси негайно випливає, що g> g. А це означає, що рав-

k

новесная траєкторія не збігається з оптимальною.

Ми бачили, що в моделі Рамсея виконувалися дві теореми добробуту, і рівноважна траєкторія є оптимальною. Але в АК-моделі ситуація зовсім інша. Тут ми стикаємося з істотними зовнішніми ефектами: технологічні можливості кожної з фірм залежать від поведінки інших фірм. При наявності екстерналій, теореми економіки добробуту вже не працюють, і це представляє деяку проблему для ендогенного зростання. З моделі Рамсея випливало, що можна покластися на ринок, і результат дії ринкових сил (конкурентна рівновага) буде оптимальний для суспільства. В АК-моделі це вже не так, і необхідна якась економічна політика для приведення економіки в оптимальний стан.

1. Фактори динаміки реального валютного курсу
   Логарифмуючи і диференціюючи формулу реального валютного курсу (див. Підпункті 10.1.1), використовуючи наближене умова арбітражу (див. Підпункті 10.1.2): де тг * і я - темпи інфляції; г і г * - реальні ставки відсотка в Росії і США. Тут рівень цін ототожнений з вартістю кошика товарів, за
2. Етапи становлення макроекономіки, таблиця Кене
   Таблиця Кене - перша модель суспільного відтворення. Вона показує, як розподіляється між класами сукупний суспільний продукт, як класи обмінюються продуктами, як відшкодовуються їхні витрати. Кене поділив суспільство на три класи: власники (землевласники, дворяни), продуктивний клас (фермери
3. Еластичність заміщення факторів виробництва і рівноважний зростання
   Як уже зазначалося, умова стійкого зростання в моделі Солоу - Свана можна представити у вигляді наступного рівняння: so = n ; в ньому екзогенно задані s і п, а а знижується в міру зростання капіталоозброєності праці Тому графічно процес руху до стійкого економічного зростання можна змалювати
4. Економіка пропозиції та економіка попиту
   У 1803 р Жан Батист Сей (1767-1832), розвиваючи ідеї Адама Сміта, зробив припущення, яке в подальшому набула розголосу як закон Сея. Відповідно до даного закону пропозицію і попит кількісно збігаються один з одним. Пізніше закон стали трактувати наступним чином: пропозиція створює попит. Протилежної
5. Економічні «сезони», «весна»
   У природі кожен сезон (весна, літо, осінь, зима) є окремим етапом (фазою) річного циклу. В економіці, так само як і в природі, є свої «сезони» - етапи або фази, в рамках яких переважають одні й ті ж тенденції; послідовна сукупність фаз з різними тенденціями є один цикл. За кожним падінням
6. Економічна політика в моделі AD-AS, економічна політика в короткостроковому і довгостроковому періоді
   У гл. 11 ми вже бачили, що в короткостроковому періоді, коли сукупна пропозиція описується кривої SRAS, будь-який вид державної політики, яка впливає на сукупний попит, повністю транслюється в збільшення випуску при збереженні колишнього рівня цін. У той же час в більш тривалому періоді, коли
7. Ефект реальних касових залишків
   Як було відзначено в параграфі 8.1, відповідно до вчення класичної школи зміна кількості знаходяться в обігу грошей не відбивається на процесах, що відбуваються в реальному секторі економіки; змінюється тільки рівень цін в тому ж напрямку і в тій же пропорції, в якій змінюється кількість грошей.
8. Дводержавна модель при мінливому рівні цін
   З урахуванням мінливих рівнів цін модель економічної взаємодії двох країн при досконалої мобільності переливу капіталів в загальному вигляді представляється такою системою рівнянь: де е - обмінний курс грошей країни А, показує, скільки грошових одиниць цієї країни потрібно заплатити за 1