Ігрова модель дуополії

Нехай дуополии встановлюють свої випуски щомісяця одночасно і незалежно один від одного. Таке їх поведінка є, по суті, грою, «ходом» в якій служить випуск, а виграшем - прибуток. Якщо кожна дуополія має два можливих випуску, то є чотири можливі комбінації дій, причому кожної відповідає пара значень прибутку. позначимо через ау прибуток першої дуополии, а через by - прибуток другої дуополии в тому випадку, коли перша з них вибрала i-й хід, а друга - ] -Й хід (I, j = 1, 2). матрицю А = {ау} називають матрицею виграшів першої дуополии, а матрицю В = {by} - матрицею виграшів другий дуополии.

Стратегією дуополии називають вектор, у якого i-м елементом служить частота (ймовірність) вибору i-го ходу. стратегію називають чистої, якщо один її елемент дорівнює одиниці, а решта - нулю, т. е. вибирається один і той же хід (випуск). Інші стратегії називають змішаними. оптимальна стратегія забезпечує дуополии найбільший середній виграш (прибуток) за тривалий період часу незалежно від поведінки конкурента.

Вирішити гру - значить знайти оптимальні стратегії дуополія і відповідну пару значень середнього прибутку. Алгоритм розв'язання гри дуже складний, тому ми будемо шукати обережні стратегії дуополія, які зазвичай близькі до оптимальних. Для розрахунку обережною стратегії дуополии визначимо мінімально можливе (песимістичний) значення прибутку при кожному її ході та знайдемо максимальне (оптимістичний) з цих значень. Це число називають Максиміна матриці виграшів (максимин - це максимум з мінімумів), а відповідну стратегію - обережною. Якщо дуополія дотримується обережної стратегії, то при будь-якому поведінці конкурента її середня прибуток буде не менше максимина.

приклади

1. У табл. 12.2 показані матриці виграшів: перша дуополія встановлює випуски 50 або 100, а друга - 40 або 90. Визначимо обережну стратегію першої дуополии.

Для цього знайдемо мінімальне значення в кожному рядку її матриці виграшів (див. Останній рядок таблиці). Максимум з чисел 5 і 4 (максимин першої дуополии) дорівнює 5. Отже, обережною стратегією є незмінний випуск 50, при цьому її прибуток складе не менше 5. Стратегія виражається вектором (1,0). Визначимо обережну стратегію другий дуополии, для цього знайдемо мінімальне значення в кожному стовпці її матриці виграшів (див. Останній рядок таблиці). Максимум з чисел 2 і 3 (максимин другий дуополии) дорівнює 3.

Ігрова модель олігополії: приклад 1

Таблиця 12.2

Обережною стратегією є незмінний випуск 90, при цьому прибуток складе не менше 3. Стратегія виражається вектором (0; 1).

2. Функція ринкового попиту взята з попередніх прикладів. Граничні витрати першої дуополии рівні 40, другий - 80. Постійні витрати дуополія дорівнюють нулю. Кожна дуополія встановлює випуск 30 або 60. Знайдемо матриці виграшів.

Випуск першої дуополии - 30, другий - 30. Сумарний випуск дорівнює 60, ціпа - 140. Прибуток першої дуополии - 3000, другий - 1800; це елементи матриці виграшів з індексами (1, Г). Інші елементи матриці виграшів показані в табл. 12.3.

Ігрова модель олігополії: приклад 2

Таблиця 123

Максимин першої дуополии - 2400, її обережна стратегія - (0,1). Максимин другий дуополии - 900, її обережна стратегія - (1,0).

Вище передбачалося, що дуополии діють на ринку незалежно один від одного. Тепер припустимо, що між ними можлива змова. При змові середня прибуток кожної дуополии зазвичай вище, ніж в разі рівноважних стратегій. Однак фірма ризикує бути обманутою партнером, який в будь-який момент може порушити угоду, і тоді прибуток «обдуреною» фірми може виявитися менше її обережного, гарантованого значення. Узгоджена поведінка економічних суб'єктів покажемо на прикладі ігрової моделі «Дилема ув'язнених».

приклад

Двоє людей затримані але підозрою в скоєнні злочину. Слідчий не має достатніх доказами, що дозволяють передати справу в суд, і тому провокує їх на добровільне визнання, пропонуючи кожному угоду. Якщо обидва зізнаються, то кожен отримає по 5 років в'язниці. Якщо один зізнається, поклавши провину на іншого, то перший буде негайно відпущений на свободу після проведення одного року в слідчому ізоляторі, а другий отримає 10 років позбавлення волі. Якщо жоден з них не зізнається, то кримінальна справа не буде доведена до суду, і обидва проведуть у в'язниці по 2 роки - максимально можливий термін попереднього ув'язнення.

Матриця виграшів гри має два рядки і два стовпці, оскільки гравці можуть вибрати одну із стратегій поведінки: «Зізнаватися» і «Нс зізнаватися». Всі її елементи негативні, оскільки в будь-якому випадку кожен проведе деякий час у в'язниці, т. Е. Отримає негативний «виграш» (табл. 12.4).

Ігрова модель «Дилема ув'язнених»

Таблиця 12.4

З табл. 12.4 випливає, що обережна стратегія кожного ув'язненого - це стратегія «Зізнаватися», при цьому максимальний термін ув'язнення складе 5 років. Описана ситуація відповідає нагоди незалежного, неузгодженого поведінки ув'язнених. Якщо ж укладені домовилися (заздалегідь або після затримання) не зізнаватися в скоєному злочині, то, як випливає з матриці виграшів, вони отримають лише але 2 роки ув'язнення, а не але 5 років, як у випадку неузгодженого поведінки. Таким чином, змова виявився вигідніше, ніж незалежна поведінка. Але якщо один з них порушить угоду, т. Е. Зізнається в злочині і покладе основну провину на іншого ув'язненого, то останній отримає максимальний термін 10 років, а порушник угоди - лише 1 рік.

Матриці виграшів дуополія називають антагоністичними, якщо при будь-якій парі «ходів» дуополія виграш однієї дуополии в точності дорівнює програшу іншої. Іншими словами, відповідні елементи матриць виграшів протилежні одна одній, т. Е. Їх сума дорівнює нулю. У цьому випадку матрицю виграшів першої дуополии називають платіжною матрицею. Елементи матриці виграшів другий дуополии проти-

вогюложни відповідних елементів платіжної матриці, тому з двох зазначених матриць досить розглядати платіжну матрицю.

Ігрову модель олігополії з платіжною матрицею називають грою з нульовою сумою, при цьому елемент платіжної матриці зазвичай трактують як частина прибутку, яка переходить від однієї дуополии до іншої. Якщо цей елемент позитивний, то друга дуополія «платить» першої, якщо ж він негативний, то «платить» перша дуополія. У грі з нульовою сумою змову неможливий, оскільки збільшення прибутку для однієї дуополии означає збільшення збитків для іншої.

приклад

У табл. 12.5 представлена платіжна матриця. Якщо перша дуополія вибрала перший варіант поведінки, а друга дуополія - третій варіант, то цього «ходу» відповідає елемент матриці, що дорівнює -1. Отже, прибуток першої дуополии скорочується на одиницю, а другий дуополии - збільшується на одиницю.

Таблиця 12.5

Платіжна матриця та обережні стратегії

Для першої дуополии обережна стратегія визначається так само, як в загальному випадку: оскільки максимум з трьох мінімальних елементів в рядках платіжної матриці дорівнює 1, вибір другого варіанту служить її обережною стратегією. Для виявлення обережною стратегії другий дуополии визначимо максимальний елемент в кожному стовпці платіжної матриці і знайдемо мінімальний з них, він дорівнює 1. Це число називають МІНІМАКСІ другий дуополии (минимакс - мінімум з максимумів). Вибір другого варіанту поведінки є обережною стратегією для другої дуополии.

Якщо обидві дуополии незмінно реалізують свої обережні стратегії, то виграш першої дуополии буде незмінно дорівнює одиниці, а програш другий дуополии дорівнює -1, т. Е. Друга дуополія «передає» першої дуополии одну грошову одиницю. У розглянутому прикладі минимакс дорівнює Максимину і дорівнює 1, т. Е. Платіжна матриця має седловую точку.

Седловой елемент платіжної матриці - це елемент, який є одночасно мінімальним у своєму рядку і максимальним у своєму стовпці. Платіжна матриця може мати кілька сідлових точок, а може і не мати їх зовсім. Модель олігополії, в якій платіжна матриця має одну седловую точку, характеризується наступними властивостями:

• стратегії поведінки дуополія, що відповідають седловой точці, є одночасно обережними і рівноважними (оптимальними);
• якщо седловой елемент позитивний, то ринок спочатку «налаштований» на користь першої дуополии, яка може мати позитивну прибуток при будь-якому поведінці конкурента;
• якщо седловой елемент негативний, то ринок спочатку «налаштований» на користь другої дуополии, яка може мати позитивну прибуток при будь-якому поведінці конкурента;
• якщо седловой елемент дорівнює нулю, то ситуація на ринку «справедлива»;
• відхилення дуополии від «седлового» варіанту неминуче тягне для неї збиток, якщо конкурент незмінно дотримується рівноважної стратегії.

1. Клубне рівновагу
   Клуб - спільнота споживачів, які мають можливість без обмежень споживає невелику благо і при цьому ділять витрати порівну. Клубне благо має спільні риси із суспільним благом, оскільки має властивість неісключаемості щодо членів клубу. Однак воно не має властивість неконкурентність, оскільки
2. Класична теорія збалансованого зростання і кредитні цикли
   Кожна з розглянутих вище теорій і формул економічного зростання - Сміта, Ріккардо і Мальтуса - візуалізують розвиток економіки зі стаціонарної позиції, але з різних точок зору. Між ними недостатньо погоджень. Проте об'єднує їх моментом є спроби пояснити процес економічного зростання темпами
3. Кейнсіанство
   Класичний і кейнсіанський підхід є дві основні традиції в макроекономіці. Класичний підхід пов'язаний з ім'ям А. Сміта і заснований на концепції «невидимої руки», що приводить суспільство до максимального добробуту. Заробітна плата і ціни на всіх ринках швидко і автоматично коригуються через
4. Кейнсіанська функція споживання і її модифікації
   Дж. М. Кейнс виходив з того, що споживання домашніх господарств залежить від абсолютної вели і її модифікації чини поточного доходу. Характер цієї залежності він висловив так: «Основний психологічний закон, в існуванні якого ми можемо бути цілком упевнені не тільки з апріорних міркувань, виходячи
5. Історичний контекст і учасники
   У період між двома світовими війнами функціонування економік Заходу було далеким від неокласичного ідеалу. 29 жовтня 1929 р увійшло в історію США як «чорний вівторок». Що трапився в цей день обвал на американському фінансовому ринку поклав початок Великої депресії. Те, що зараз називають
6. Інвестиційна функція
   Репрезентативне виробник займається не тільки виробництвом, але також здійснює інвестиції. Тим самим він пред'являє інвестиційний попит на єдиний вироблений в економіці продукт. Передбачається, що величина цього попиту / є незростаюча функцією від ставки відсотка г, т. Е. / = / (Г). Функцію
7. Інституційні умови економічного зростання
   Відзначено, що найбільш цитованої публікацією Д. Норта в останній чверті XX ст. була його стаття «Джерела зміни продуктивності в океанському судноплавстві, 1600- 1850», в якій він за допомогою економетричного аналізу доводить, що основним фактором зростання продуктивності праці в морському
8. Інноваційні основи кредитних циклів
   Кредитні та фінансові інновації займають ключове місце в підготовці кризових ситуацій. Справа не тільки в тому, що інновації швидше фокусировали і активували, ніж розосереджується і придушували ризики. Більш суттєвим є їх відповідальність за підготовку умов переходу до нового стану основних