| Головна |
| « Попередня | ЗМІСТ | Наступна » |
|---|
Класична схема побудови виробничих функцій за допомогою оцінок коефіцієнтів складається з двох етапів.
Етап 1. Спочатку на основі якісного аналізу об'єкта моделювання і його цілей зі списку класів математичних функцій вибирається параметричний клас F = {f (хі ..., хПу а) Р ..., адо))у всі елементи якого як функції від Х,..., хп мають потрібними характеристиками поведінки (при цьому передбачається, що всі функції, що входять в F, обчислюваних). Таким чином встановлюється «вид виробничої функції».
Етап 2. Потім функція даного «виду» у = / {хх, ..., х "} аь ..., адо) розглядається як регресійні рівняння, оцінки параметрів ..., адо якого знаходяться з умови мінімізації суми квадратів відхилень значень функції / (х, а) в спостерігалися точках х (?), t = 1, ..., Г, від спостерігалися значень у (t), t = 1, ... Г:
У разі коли функція / лінійна за параметрами або зводиться до такої, пошук значень а, мінімізують суму квадратів відхилень, зводиться до вирішення системи лінійних рівнянь.
Таким чином, завдання побудови виробничої функції являє собою завдання апроксимації.
Основне завдання апроксимації - побудова наближеної (апроксимуючої) функції, найближче проходить близько даних точок або близько цієї безперервної функції. Суть процесу полягає в згладжуванні експериментальних даних.
апроксимація - процес підбору емпіричної функції ф (х) для встановлення з досвіду функціональної залежності у = Ф (х).
Емпіричні формули служать для аналітичного подання досвідчених даних.
У найпростішому випадку задача апроксимації експериментальних даних зводиться до наступного.
Нехай є якісь досвідчені дані, які можна уявити парами чисел (х, у). Залежність між ними приведена в таблиці нижче:
|
* 1 |
х0 |
х |
х2 |
хп |
|
|
У |
Уо |
У |
У2 |
уп |
На основі цих даних потрібно підібрати функцію у = Ф (х), яка найкращим чином згладжувала б експериментальну залежність між змінними і по можливості точно відображала загальну тенденцію залежності між х і у, виключаючи похибки вимірювань і випадкові відхилення. Це означає, що відхилення у{ - ф (х,) в якомусь сенсі були б найменшими.
В теорії існує два підходи до вирішення завдання апроксимації. У першому підході завдання апроксимації розпадається на дві частини.
Другий підхід до вирішення завдання апроксимації полягає в наступному: якщо немає будь-яких теоретичних міркувань для вибору типу формули, зазвичай вибирають функціональну залежність з числа найбільш простих, порівнюючи їх графіки з графіком заданої функції.
Після вибору виду формули визначають її параметри. Для найкращого вибору параметрів задають міру близькості апроксимації експериментальних даних. У багатьох випадках, особливо якщо функція / (х) задана графіком або таблицею (на дискретній множині точок), для оцінки ступеня наближення розглядають різниці / (х,) - ф (х,) для точок х0, xt, ..., хп.
Зазвичай визначення параметрів при відомому вигляді залежності здійснюють методом найменших квадратів. При цьому функція ф (х) вважається найкращим наближенням до / (х), якщо для неї сума квадратів відхилень е, = f (Xj) - (Р (лг1) Значень р (лг,), знайдених за емпіричною формулою, від відповідних досвідчених значень г /, має найменше значення в порівнянні з іншими функціями, з числа яких обирається шукане наближення.
Використовуючи методи диференціального обчислення і метод найменших квадратів, формулюють аналітичні умови досягнення сумою квадратів відхилень а свого найменшого значення.
Якщо апроксимуюча функція будується таким чином, щоб у вузлах (Х /) вона точно брала значення г / ,, процедура називається интерполированием, а функція - інтерполюючої.
Як правило, інтерполювання використовується для апроксимації функції в проміжних точках діапазону. Наближене обчислення функції за межами діапазону - екстраполяція.