Головна
Економіка
Мікроекономіка / Історія економіки / Податки та оподаткування / Підприємництво. Бізнес / Економіка країн / Макроекономіка / Загальні роботи / Теорія економіки / Аналіз
ГоловнаМакроекономіка → Макроекономіка. Частина 2 → 
« Попередня   ЗМІСТ

рівноважні траєкторії

Розглянемо тепер дещо іншу задачу оптимізації:

тут функція і така ж, як і в параграфі В.1, а горизонт планування Тзнову ж таки може бути як кінцевим, так і нескінченним (7 '= °°). Таке завдання інтерпретується як вибір репрезентативного споживача між споживанням і заощадженнями. Кожен період часу дохід агента, який він вважає заданим, складається із заробітної плати wt і відсотків від інвестованих заощаджень за ставкою rv

Зауважимо, що з причин, викладених у параграфі В.1, ми відразу ж не вказуємо в якості умов завдання неотрицательность споживання в кожному періоді, з,> 0. У той же час ми не накладаємо і умови невід'ємності заощаджень s,> 0. Однак якщо допустити можливість необмежено брати в борг (s,<0), то рішення, що цікавить нас завдання не існуватиме. Очевидно, агент має можливість займати і споживати будь-яку кількість продукту, яке він тільки захоче, виплачуючи відсотки по боргу шляхом нових, ще більших позик в наступних періодах. Така поведінка називається схемою Понці (будівництвом фінансової піраміди). В цьому випадку бюджетне обмеження ct +st <(l + ?}) St_1 + wt фактично не є обмеженням. Тому до задачі (В. 16) необхідно додати обмеження па позики, щоб виключити можливість фінансових пірамід. Такого роду умови називаються умовами No-Ponzi Game. Ми розглянемо їх походження для випадку як кінцевої, гак і нескінченної траєкторії.

послідовність (C *t, s *t) J= (), яка задовольняє завданню (В.16) з накладеним умовою No-Ponzi Game, ми будемо називати рішенням завдання споживача.

Кінцевий горизонт планування

Розглянемо задачу (В.16) на кінцевому горизонті планування. умовою No-Ponzi Game в даному випадку зазвичай є вимога, щоб в кінці періоду планування борг споживача не був позитивним. Оскільки борг, накопичений до моменту часу Т, являє собою величину - лу, то вимога полягає в тому, щоб лу> 0. Однак зручніше розглядати не саму величину боргу, а борг, назнавств до початкового моменту часу. Тому умова No-Ponzi Game для завдання з кінцевим горизонтом планування можна записати так:

Таким чином, завдання споживача виглядає наступним чином:

Зауважимо тепер, що завдання споживача (В. 18) можна переписати в більш зручному вигляді, перетворивши всі бюджетні обмеження і умова No-Ponzi Game в міжчасового бюджетне обмеження. Для цього розглянемо бюджетне обмеження в останньому періоді Т. Висловимо з нього величину sr_j, і підставимо її в попереднє бюджетне обмеження

Поступаючи тепер так само з величиною sT_2 і продовжуючи цей процес до бюджетного обмеження початкового періоду, ми отримаємо

З огляду на тепер умова No-Ponzi Game, ми приходимо до єдиного обмеження

Це нерівність означає, що поточна потік споживання репрезентативного агента в усі моменти часу (признавств до початкового моменту) не повинен перевищувати його сукупного доходу (теж приведеного до початкового моменту часу). Дохід цей складається з початкових заощаджень і потоку заробітних плат. Оскільки дохід споживача вважається екзогенно заданим, в правій частині міжчасового бюджетного обмеження стоїть якась постійна величина. Позначимо її через I. Тоді задача, яку вирішує споживач, перепишеться так:

Необхідні і достатні умови для вирішення такого завдання, еквівалентної вихідної, можна отримати, скориставшись теоремою Куна - Таккера. Нехай А.- множник Лагранжа для міжчасового бюджетного обмеження. Тоді функція Лагранжа має вигляд

Умови першого порядку і умови доповнює нежорсткості записуються як

З (В.19) відразу ж випливає, що А0, а тоді бюджетне обмеження виконується як рівність:

Умова (В.22) дуже схоже на умову (В.8) для конечномерной оптимальної завдання, і, як ми зараз побачимо, теж є прототипом умови трансверсальності для завдання споживача на нескінченному обрії. З (В.22) випливає, що sf = 0, т. Е. В термінальний момент часу зберігати неоптимально.

Крім того, раз міжчасового бюджетне обмеження виконується як рівність, то і всі бюджетні обмеження у вихідній задачі виконуються як рівності

Нарешті, комбінуючи умови (В. 19) - (В.20) в сусідні моменти часу, і позбавляючись від множника Лагранжа X, ми знову отримуємо умови першого порядку (рівняння Ейлера)

Таким чином, ми приходимо до наступного твердження.

Затвердження В.2. Послідовність (з *, s *t) j= 0 при заданому початковому значенні s_x = s_x є рішенням задачі (В.18) на кінцевому горизонті тоді і тільки тоді, коли виконуються умови {В.22) - (В.24).

Нескінченний горизонт планування

Розглянемо тепер задачу (В. 16) на нескінченному обрії планування. У цьому випадку умова No-Ponzi Game є узагальненням умови (В. 17) і має вигляд

змістовно це вимога означає, що в межі весь борг споживача повинен бути виплачений. Таким чином, завдання споживача має вигляд

Аналогічно нагоди кінцевого горизонту планування, обмеження в задачі (В.25) можна переписати через міжчасового бюджетне обмеження. Висловлюючи з бюджетного обмеження для довільного моменту t величину st_j, підставляючи її в попереднє бюджетне обмеження, а потім продовжуючи цей процес з s, _2, ...,% ми отримуємо

Переходячи в цій формулі до межі t-> °° і враховуючи умову No-Ponzi Game, ми отримуємо міжчасового бюджетне обмеження на нескінченному обрії

Позначаючи знову праву частину (дохід на всьому нескінченному обрії) цього обмеження через I, а відповідний множник Лагранжа через X, можна записати функцію Лагранжа як

Умови першого порядку і умови доповнює нежорсткості записуються як

З (В.26) відразу ж слід, що X0, і що міжчасового бюджетне обмеження виконується як рівність. Це відповідає тому, що рішення задачі споживача характеризується наступним рівністю:

яке називається умовою трансверсальності.

Підкреслимо важлива відмінність між умовою No-Ponzi Game і умовою трансверсальності. Перше є властивість самого завдання, а друге - характеристика оптимального рішення. Умова No-Ponzi Game означає, що заощадження агента в межі не повинні бути негативними. Умова ж трансверсальності, навпаки, забороняє заощаджень агента бути занадто великими.

Як і в скінченномірному випадку, бюджетні обмеження в усі моменти часу будуть виконуватися як рівності

Нарешті, умови теореми Куна - Таккера (В.26) - (В.27) дають нам вже знайомі умови першого порядку, які виконуються в усі моменти часу:

Речення В 2. Послідовність (ct, s]) " 0 при заданому початковому значенні .v_, = Є рішенням задачі {В.25) на кінцевому горизонті тоді і тільки тоді, коли виконуються умови (В.29) - (В.31).

  1. Становлення макроекономічної теорії: коротка історична довідка
    За історії макроекономіки написано безліч книг 1, ми ж обмежимося коротким розглядом розвитку макроекономіки в змінюваному соціально-історичному контексті, не заглиблюючись далі XVIII ст. Можна сказати, що основні питання макроекономіки - питання зростання і розподілу - з'явилися в роботах
  2. Стабілізаційна політика в закритій економіці
    №81 Умова рівноваги на ринку блага Умова рівноваги на грошовому ринку Функція сукупного попиту Умова рівноваги на ринку праці М Л = W D Функція сукупної пропозиції Рівноважний рівень цін Інші ендогенні параметри: у = 60 + 230/2 = 175; 175 = 45гУ- 2Л ' 2 -» N = 5; 11 '= 50; i = 0,05 175 + 16-
  3. Стабілізаційна політика у відкритій економіці
    № 85 Обмінний курс рубля до долара в січні 2006 р дорівнював 628,12 руб / дол., А в січні 2009 р.- 35,41 руб / дол. За цей час ІСЦ в США зріс в 1,06 рази, а в Росії - в 1,38 рази. Як за цей час змінився реальний обмінний курс рубля до долара? № 87 На початку року обмінний курс національної
  4. Стабілізаційна політика, дефіцит державного бюджету і державний борг
    Так як стабілізаційна політика зводиться до маніпулювання державним бюджетом і зміни пропозиції грошей, то її здійснення безпосередньо впливає на розміри бюджетного дефіциту і державного боргу (D), що представляє собою накопичену суму бюджетних дефіцитів: D = Х6. При наявності державного боргу
  5. Споживання та інвестиції, модель з параметрами (Тобін)
    Дохід - функція капіталу: Y = К а, інвестиції (Г) дорівнюють приросту капіталу (амортизації немає), витрати складаються з витрат на закупівлю і установку капіталу: С = (Р + з 1, де р - ціна нового капіталу; с - ціна його установки. Нехай ставка відсотка - м Прибуток в період t дорівнює різниці
  6. Соціальна складова економіки, демографічні характеристики населення
    В результаті вивчення даного розділу студент повинен: знати ключові компоненти доходів і витрат росіян і їх динаміку; вміти аналізувати проблему бідності в національній економіці Росії; володіти навичками дослідження різних підходів до оцінки рівня життя і добробуту населення в Росії. Актуальні
  7. Система індексів цін
    У статистичній практиці Російської Федерації основним методом розрахунку зведеного індексу цін по різнорідним товарів чи товарних груп є розрахунок середньозваженої величини з індивідуальних індексів цін. У Росстат розроблена система індексів цін, в яку входять: в сфері споживчого ринку індекс
  8. Що таке цикл?
    Широко поширена думка про те, що економічне життя являє собою не простий і рівний, а скоріше складний коливальний процес. Природу, призначення, типи і форми коливань намагалися описати численні економісти, соціологи, психологи і навіть астрономи і теологи. Справа в тому, що не тільки економіка
© 2014-2021  epi.cc.ua