Метод ковзної середньої.

Заснований на обчисленні середніх величин за укрупнені періоди часу. Мета - абстрагуватися від впливу випадкових чинників, взаімопогасіть їх вплив в окремі роки.

Для розрахунку використовують наступний алгоритм.

• 1. Визначають довжину інтервалу згладжування /, що включає в себе / послідовних рівнів ряду (/ < п). При цьому треба мати на увазі, що чим ширше інтервал згладжування, тим більшою мірою взаємо коливання і тенденція розвитку носить більш плавний, згладжений характер. Чим сильніше коливання, тим ширше повинен бути інтервал згладжування.
• 2. Розбивають весь період спостереження на дільниці, при цьому інтервал згладжування як би ковзає по ряду з кроком, рівним /.
• 3. Розраховують середнє арифметичне з рівнів ряду, що утворюють кожну ділянку.
• 4. Заміняють фактичні значення ряду, що стоять в центрі кожної ділянки, на відповідні середні значення.

При цьому зручно брати довжину інтервалу згладжування / у вигляді непарного числа: 1 = 2р + 1, так як в цьому випадку отримані значення ковзної середньої припадають на середній член інтервалу. Спостереження, які беруться для розрахунку середнього значення, називаються активною ділянкою згладжування.

При непарному значенні / всі рівні активної ділянки можуть бути представлені у вигляді

де y_t - центральний рівень активної ділянки; y_t__p, y_t__{p +}i - послідовність з р рівнів активної ділянки, що передують центральному; у_1УР-1, y_{t + p} - послідовність з р рівнів активної ділянки, наступних за центральним.

тоді змінна середня розраховується за формулою

де у_{ - фактичне значення / -го рівня; y_t - значення ковзної середньої в момент t 2р + 1 - довжина інтервалу згладжування.

Процедура згладжування призводить до усунення періодичних коливань в часі ряду, якщо довжина інтервалу згладжування береться рівною або кратною періоду коливань. Для усунення сезонних коливань часто потрібно використовувати чотирьох- і двенадцатичленная ковзаючі середні, але при цьому не буде виконуватися умова непарності довжини інтервалу згладжування. Тому при парному числі рівнів прийнято перше і останнє спостереження на активній ділянці брати з половинними вагами:

Тоді для згладжування сезонних коливань при роботі з тимчасовими рядами квартальної або місячної динаміки можна використовувати 4- і 12-членні ковзаючі середні:

У формулі з чотиричленним ковзаючим середнім кожен активний ділянку містить п'ять рівнів, у формулі з 12-членних - 13 рівнів, при цьому крайні рівні мають половинні вагові коефіцієнти.

При використанні ковзної середньої з довжиною активної ділянки / = 2р + 1 перші і останні р рівнів ряду згладити можна, їх значення втрачаються. Очевидно, що втрата значень останніх точок є істотним недоліком, так як для дослідника останні «свіжі» дані мають найбільшу інформаційну цінність.

Розглянемо один з прийомів, що дозволяють відновити втрачені значення часового ряду при використанні простої ковзної середньої. Для цього необхідно наступне.

• 1. Обчислити середній абсолютний приріст на останньому активній ділянці.
• 2. Отримати р згладжених значень в кінці часового ряду шляхом послідовного додавання середнього абсолютного приросту до останнього згладженому значенням.

Аналогічну процедуру можна реалізувати для оцінювання перших рівнів часового ряду.

Метод простий ковзної середньої застосуємо, якщо графічне зображення динамічного ряду нагадує пряму. Коли тренд вирівнюється ряду має вигини і для дослідника бажано зберегти дрібні хвилі, то застосування простий ковзної середньої недоцільно.

Якщо для процесу характерно нелінійне розвиток, то проста змінна середня може привести до істотних викривлень. У цих випадках слід використовувати зважену ковзну середню.

При побудові виваженої ковзної середньої на кожному активній ділянці значення центрального рівня замінюється на розрахункове, що визначається за формулою середньої арифметичної зваженої

де - вагові коефіцієнти.

Проста змінна середня враховує всі рівні ряду, що входять в активний ділянку згладжування, з рівними вагами (W), а зважена середня приписує кожному рівню вага, що залежить від видалення даного рівня до рівня, що стоїть в середині активної ділянки. Це викликано тим, що при простій ковзної середньої вирівнювання на кожному активній ділянці проводиться по прямій (полиному першого порядку), а при згладжуванні по зваженої ковзної середньої використовуються поліноми більш високих порядків, найчастіше 2-го або 3-го порядку. Тому метод простий ковзної середньої може розглядатися як окремий випадок методу зваженої ковзної середньої.

Відзначимо важливі властивості вагових коефіцієнтів:

• вони симетричні відносно центрального рівня;
• сума ваг з урахуванням загального множника, винесеного за дужки, дорівнює одиниці;
• наявність як позитивних, так і негативних ваг дозволяє згладженої кривої зберігати різні вигини кривої тренду.

У табл. 6.10 наведені фактичні дані про динаміку ВВП в Росії за 1995-2013 рр. і розрахунки по вирівнюванню цього ряду трьома методами.

Таблиця 6.10

Вирівнювання даних про динаміку ВВП Росії за період 1995- 2013 рр. методами укрупнення інтервалів, ковзної середньої та аналітичного вирівнювання

1. Модель олігархії
   Олігархія - економічна система, в якій уряд діє в інтересах групи приватних підприємців і не враховує інтереси інших груп населення. Воно встановлює ставку податку, яка найбільш вигідна для приватного бізнесу. Цільова функція уряду при олігархії - віддача на одиницю капіталу після вирахування
2. Модель ОЕР Патінкіна
   Мінове господарство складається з трьох індивідів, які споживають три види благ А, В і Н. У початковому стані перший споживач має Q / 10, другий - Q B0 і третій - Q // 0 одиниць зазначеного блага; крім того, у кожного є певна сума грошей (М 0 / ; 2 = 1; 2; 3). Тому індивіди здійснюють обмін
3. Модель «метрополія - колонія»
   Метрополія може вільно в своїх інтересах регулювати обсяг капіталу на одного зайнятого (фондоозброєність) в колонії, яка не має власного капіталу і отримує один вид доходу - зарплату. Чисельність населення колонії незмінна і дорівнює одиниці. Виробнича функція колонії: де у - дохід на одного
4. Модель кругообігу доходів і витрат
   Для того щоб зрозуміти взаємозв'язок макроекономічних агентів через макроекономічні ринки, розглянемо найпростішу макроекономічну модель кругообігу доходів і витрат. Припустимо, що у нас є тільки два агента - репрезентативний виробник і репрезентативний споживач, і тільки два ринки - ринок
5. Моделі з виробництвом знань, зростання і знання: два фактора доходу (Кремер)
   Обсяг накопичених суспільством знань (А) характеризує розвиток виробництва в цілому і виробничий ефект однієї години праці зокрема, тому в даній моделі він служить вимірником ефективності праці (Е ). Тобто обсяг ефективного (корисного) праці тут дорівнює / II, де L - тривалість праці (чисельність
6. Модель is - lm
   №41 З умови рівноваги на ринку блага визначимо національний дохід: у = 10 + + 0,7 5у + 50 - 4 - 5 - " у = 160. Попит на гроші для угод: 0,1160 = 16, а в якості майна: 48 - 16 = 32. № 42_ Із системи рівнянь рівноваги на ринку блага і грошей знаходимо: а) величину ефективного попиту; б) ставку
7. Модель інфляції
   На основі динамічних функцій сукупного пропозиції (10.11) і сукупного попиту (10.15) можна побудувати модель, яка ілюструє процес розвитку інфляції. Динамічна взаємодія сукупного попиту і сукупної пропозиції описується наступною системою рівнянь: в якій екзогенними параметрами виступають y
8. Модель «фундаментального» валютної кризи флуду - Гарбера
   Модель описує можливість проведення приватними інвесторами безризиковою атаки на валютний ринок при фіксованому валютному курсі, ілюструючи специфіку здійснення грошової політики у відкритій економіці. Вихідні передумови. Центральний банк проводить експансіоністську грошову політику за допомогою