Головна
Економіка
Мікроекономіка / Історія економіки / Податки та оподаткування / Підприємництво. Бізнес / Економіка країн / Макроекономіка / Загальні роботи / Теорія економіки / Аналіз
ГоловнаМакроекономіка → Макроекономіка. Частина 2 → 
  ЗМІСТ   Наступна »

Гіпотетичний діалог Фішера, Хайска, Кейнса і Фрідмана з приводу теорій економічних циклів

Розглянемо динамічну систему, задану диференціальним рівнянням

де тек ", а відображення /: До" - "R" має всі властивості, необхідними для того щоб рішення цього рівняння існувало для досить великого безлічі початкових станів. Точкою над х позначається похідна по часу.

Точка х називається станом рівноваги, якщо / (х) = 0, т. Е. Якщо x (t) -x, о), є рішенням рівняння (А.1). стан рівноваги х називається (локально) асимптотично стійким, якщо для всіх початкових значень, що лежать в деякій околиці точки х, динамічна система сходиться до х (інакше кажучи, 35 > 0, таке, що з || л '0 - х ||<8 випливає, що рішення x (t) рівняння (А.1) з початковою умовою x (0) = х0 сходиться до х при t-> °°). Якщо така збіжність має місце для будь-якого початкового х0, то х називається глобально асимптотично стійким.

Розглянемо спочатку найпростіший одномірний випадок (П = 1), припускаючи, що функція / задана на деякому інтервалі (А, Ь) і задовольняє на цьому інтервалі стандартних умов теорем існування та єдиності розв'язку. Припустимо, крім того, що на інтервалі (А, Ь) є єдине рішення х рівняння / (х) = 0, причому ах х => / (Х)> 0; ххЬ => / (Х)< 0.

Пропозиція А.1. Нехай x (t) - рішення даного рівняння

для х (0) е (й, Ь). Тоді x (t) -> х, т. е. стан рівноваги х є гло-

г-»°°

боляче асимптотично стійким.

Деяким аналогом цього твердження в дискретному часі служить наступна пропозиція.

Пропозиція А.2. Нехай на інтервалі (А, b) задані дві безперервні монотонно зростаючі функції ф (. г) і ф (х). Нехай, далі, рівняння ср (х) = | / (. г) має на (а, Ь) єдине рішення х, причому йхх => ф (х)> | / (х); ххЬ = $ ф (х) < ф (х). Тоді будь-яка послідовність (Х,)/ = 01 постро

енная за правилом

сходиться до х.

Зауважимо, що умова монотонності функцій ф (х) і V | / (x) є в дискретному випадку істотним, хоча його і можна значною мірою послабити.

де А - лінійне відображення, яке ми будемо ототожнювати з його матрицею в природному базисі. Рівняння має принаймні один стан рівноваги, а саме х = 0. Стан рівноваги х = 0 системи (А.2) глобально асимптотично стійко тоді і тільки тоді, коли речові частини всіх власних чисел матриці А негативні.

Затвердження А.2. Розглянемо систему (А.1) в загальному вигляді. нехай х - її стан рівноваги. Ми припускаємо, що функція / неперервно диференційовна. Позначимо через А (х) матрицю приватних похідних відображення / в точці х. Для локальної асимптотичної стійкості стану рівноваги досить, щоб речові частини всіх власних чисел матриці А (х) були негативні.

Нагадаємо, що число А. називається власним числом матриці А, якщо Ах = ХХ для деякого х ^ 0, або, інакше, якщо це число є рішенням рівняння А-1= 0, де I - одинична матриця. У двовимірному випадку, т. Е. При п = 2, перевірити (локальну) асимптотичну стійкість рівноваги щодо просто, так як можна помітити, що речові

(а a12l

частини всіх власних чисел матриці А = Негативні тоді

a2i а22)

і тільки тоді, коли її слід негативний, а визначник позитивний. Іншими словами, має виконуватися 22 <0 і апа22 ~ а2а2 > 0- Двовимірний випадок зручний ще й тим, що умови глобальної асимптотичної стійкості є безпосереднім узагальненням умов локальної асимптотичної стійкості. А саме, має місце наступна пропозиція.

Пропозиція А. З. Розглянемо систему (А.1) в припущенні, що п - 2. Для глобальної асимптотичної стійкості стану рівноваги х досить, щоб для всіх х речові частини всіх власних чисел матриці А (х) були негативними, т. Е. Щоб виконувалися

з /, е /2 _ Е /, е /2 а /, е /2 _ Е /, е /2 _

нерівності -^ + - ^ -<0, -> 0, а крім того, 1 ^ 0 або

ОХ] Ех2 ОХ] Ех2 Ех2 Ех, ех, ех2

Ех2 Ех,

  1. Інвестиції: досягнення і проблеми
    Підведемо підсумки. Для інвестицій в російській економіці є всі необхідні складові: капітальні та трудові ресурси, фінансування і опіка держави. І хоча за період трансформаційного спаду 1990-х рр. обсяги, масштаби і якість капіталовкладень зменшилися, з початком 2000-х рр. ситуація почала
  2. Інтервальні оцінки параметрів зв'язку., перевірка значущості множинного коефіцієнта кореляції
    Для значущих параметрів зв'язку має сенс знайти інтервальні оцінки. При визначенні з надійністю у довірчого інтервалу для значущого парного або приватного коефіцієнтів кореляції р використовують Z-перетворення Фішера і попередньо встановлюють интервальную оцінку для | Z | де t обчислюють за
  3. Інституційні умови економічного зростання
    Відзначено, що найбільш цитованої публікацією Д. Норта в останній чверті XX ст. була його стаття «Джерела зміни продуктивності в океанському судноплавстві, 1600- 1850», в якій він за допомогою економетричного аналізу доводить, що основним фактором зростання продуктивності праці в морському
  4. Інші доходи
    До цієї категорії доходів відносяться всі доходи, не враховані офіційно або не оцінюються Росстатом шляхом спеціальних розрахунків (як, наприклад, доходи від підприємницької діяльності). У них можна виділити дві основні складові - приховану оплату праці та доходи від продажу продукції господарств
  5. Інноваційна активність країн
    Одним з ключових чинників конкурентоспроможності країни в сучасних умовах є інноваційна активність держави. Як ми бачили, М. Портер виділяє інноваційну стадію в самостійний етап і окремий формат розвитку національної економіки. Але навіть якщо країна і не вступила ще повністю в даний етап
  6. Інфляція
    В результаті вивчення глави студент повинен: знати принципи побудови цінових індексів і вимірників інфляції; методи розрахунку реальних макроекономічних показників і темпів їх зростання; основні підходи до моделювання динаміки темпу інфляції і обсягу державі! i ного дол га; особливості моделей
  7. Індекс убогості населення для країн, що розвиваються і бідних країн
    Перший індекс убогості населення (ІПН-1) представляв спробу розробити індекс убогості, який відповідав би, критерій за критерієм, ІРЛП. Використання таких критеріїв, так само як і математична форма, яка дозволяє робити вибір серед критеріїв, є його відмінними рисами. В інших відносинах він
  8. Хвилі Еліота і тимчасові цикли, основні принципи побудови хвиль
    Розвиток ринку відбувається під впливом імпульсних (рушійних) хвиль і корекційних (відкатних) хвиль. Хвилеподібний принцип розвитку фінансового ринку має своїх прихильників і супротивників, оскільки з позиції критиків гіпотеза про розвиток фінансового ринку по розпізнаваним моделям суперечить
© 2014-2021  epi.cc.ua